实分析定义定理默写提纲

若 $x$ 是集合 $X$ 中的元素，记 $x \in X$；若不是，记 $x \notin X$。若 $A$ 中每个元素都属于 $B$，称 $A$ 是 $B$ 的子集，记 $A \subset B$。若 $A \subset B$ 且 $B \subset A$，则 $A = B$。不含任何元素的集合称为空集，记 $\varnothing$。只含一个元素 $x$ 的集合称为单元素集，记 $\{x\}$。

对集合 $A, B$，定义 $A \cup B = \{x : x \in A \text{ 或 } x \in B\},$ $A \cap B = \{x : x \in A \text{ 且 } x \in B\},$ $A - B = \{x : x \in A,\ x \notin B\}.$ 若 $A \subset X$，则 $A$ 关于 $X$ 的补集为 $A^c = X - A$。

有限形式： $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c, \qquad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c.$ 任意集族形式： 若 $\{A_\lambda : \lambda \in \Lambda\}$ 为 $X$ 中集族，则 $\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^c = \bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda^c, \qquad \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^c = \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda^c.$

对集合列 $\{A_n\}$，令 $\varlimsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k, \qquad \varliminf_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k.$ 若二者相等，则称 $\{A_n\}$ 有极限，并记为 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} A_n$。

$x \in \varlimsup A_n$ 当且仅当 $x$ 属于无穷多个 $A_n$；$x \in \varliminf A_n$ 当且仅当存在 $N$，使一切 $n \ge N$ 时 $x \in A_n$。因此 $\varliminf A_n \subset \varlimsup A_n.$

若 $A_1 \subset A_2 \subset \cdots$，则 $\lim_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n.$ 若 $A_1 \supset A_2 \supset \cdots$，则 $\lim_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n.$

若对每个 $x \in X$，按某规则有唯一 $y \in Y$ 与之对应，称给出映射 $f: X \to Y$，记 $y = f(x)$。若 $f(X) = Y$，称满射；若 $x_1 \neq x_2$ 蕴含 $f(x_1) \neq f(x_2)$，称单射；既满又单称一一映射。若 $f: X \to Y$ 为一一映射，则由 $f^{-1}(y) = x$ 定义逆映射 $f^{-1}: Y \to X$。若 $f: X \to Y,\ g: Y \to Z$，则 $g \circ f: X \to Z$ 由 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ 定义。

对 $A \subset X$，定义 $\chi_A(x) = \begin{cases} 1, & x \in A, \\ 0, & x \in X - A. \end{cases}$ 称 $\chi_A$ 为集合 $A$ 的特征函数。

若集合 $A, B$ 之间存在一一映射，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记 $A \sim B$，也说 $A, B$ 有相同基数。若 $A$ 与 $\{1, \ldots, n\}$ 等价，称 $A$ 为有限集；若 $A \sim \mathbb{N}$，称 $A$ 为可数集；有限集与可数集统称至多可数集。与 $[0,1]$ 等价的集合称具有连续统势，常记为 $\mathfrak{c}$。

可数集的任意无限子集可数；至多可数个至多可数集的并仍至多可数；有限个或可数个可数集的直积可数或至多可数（有限直积为可数）。特别地，$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$ 都是可数集。

闭区间 $[0,1]$ 不可数，且任意非退化区间与 $[0,1]$ 等价，从而具有连续统势。实数集 $\mathbb{R}$ 也具有连续统势。

若 $A$ 与 $B$ 的某个子集等价，且 $B$ 与 $A$ 的某个子集等价，即 $\overline{\overline{A}} \le \overline{\overline{B}}$ 且 $\overline{\overline{B}} \le \overline{\overline{A}}$，则 $A \sim B$。

对任意集合 $A$，其幂集 $\mathcal{P}(A)$ 的基数严格大于 $A$ 的基数，即 $\overline{\overline{A}} < \overline{\overline{\mathcal{P}(A)}} = 2^{\overline{\overline{A}}}.$ 因此不存在基数最大的集合。

$x \in \mathbb{R}^n$ 的 $\varepsilon$ 邻域为 $V(x, \varepsilon) = \{y \in \mathbb{R}^n : d(x, y) < \varepsilon\}.$ 若 $E$ 是 $x$ 的某个邻域，则称 $E$ 为 $x$ 的邻域。若 $G \subset \mathbb{R}^n$ 且 $G$ 是其每一点的邻域，则 $G$ 为开集；若 $F^c$ 开，则 $F$ 为闭集。

$\mathbb{R}^n$ 与 $\varnothing$ 都是开集也是闭集。任意多个开集的并是开集，有限多个开集的交是开集；任意多个闭集的交是闭集，有限多个闭集的并是闭集。

$F \subset \mathbb{R}^n$ 为闭集，当且仅当任意点列 $x_k \in F$ 若 $x_k \to x$，则 $x \in F$。

$\mathbb{R}$ 中的任意开集可唯一表示为至多可数个两两不相交的开区间的并，这些开区间称为该开集的构成区间。

若 $E$ 是 $x$ 的邻域，称 $x$ 为 $E$ 的内点，内点全体记 $E^\circ$。若 $x$ 的任一邻域与 $E$ 相交，称 $x$ 为 $E$ 的附着点；附着点全体称闭包，记 $\overline{E}$。$E^\circ$ 是含于 $E$ 的最大开集，$\overline{E}$ 是包含 $E$ 的最小闭集。

若 $x$ 的任一邻域去掉 $x$ 后仍与 $E$ 相交，则 $x$ 为 $E$ 的聚点；聚点全体为导集 $E'$。若 $x \in E$ 但 $x$ 不是聚点，则 $x$ 为孤立点。若 $E$ 闭且无孤立点，称 $E$ 为完备集。

若 $\overline{E} = \mathbb{R}^n$，称 $E$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中稠密。若 $(\overline{E})^\circ = \varnothing$，称 $E$ 为疏集。若 $A \subset B$ 且 $A \supset B$，称 $A$ 为 $B$ 的稠子集。

三分 Cantor 集是从 $[0,1]$ 中逐步删去中间三分开区间后剩余的集合。它是非空、有界、闭、完备、无内点的集合，且具有连续统势。Cantor 函数是 $[0,1]$ 上的单调连续函数，在被删去的每个开区间上为常数，满足 $f(0) = 0,\ f(1) = 1$。

$\mathbb{R}^n$ 中任一开集可表示为至多可数个两两不相交的半开方体的并。

实值函数 $f$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上连续，当且仅当对任意实数 $\alpha$，集合 $\{x : f(x) > \alpha\}$ 与 $\{x : f(x) < \alpha\}$ 都是开集。

对 $D \subset \mathbb{R}^n$，定义 $d(x, D) = \inf\{d(x, y) : y \in D\}.$ 则对任意 $x, y \in \mathbb{R}^n$， $|d(x, D) - d(y, D)| \le d(x, y),$ 故 $x \mapsto d(x, D)$ 为连续函数。

区间 $I = (a,b),\ [a,b],\ (a,b],\ [a,b)$ 的长度为 $|I| = b-a$。长方体 $I = \prod_{k=1}^n I_k$ 的体积为 $|I| = \prod_{k=1}^n |I_k|$。

对 $E \subset \mathbb{R}^n$，其 Lebesgue 外测度定义为 $m^*(E) = \inf\left\{ \sum_{k=1}^{\infty} |I_k| : E \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k,\ I_k \text{ 为开长方体或方体} \right\}.$

对任意 $E, E_k \subset \mathbb{R}^n$，有 $m^*(E) \ge 0$，$m^*(\varnothing) = 0$；若 $E \subset F$，则 $m^*(E) \le m^*(F)$；并且 $m^*\!\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \le \sum_{k=1}^{\infty} m^*(E_k).$

对任意 $E \subset \mathbb{R}^n$ 和 $a \in \mathbb{R}^n$， $m^*(E + a) = m^*(E), \qquad E + a = \{x + a : x \in E\}.$

集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ 称为 Lebesgue 可测，若对任意 $T \subset \mathbb{R}^n$， $m^*(T) = m^*(T \cap E) + m^*(T \cap E^c).$ 这是 Carathéodory 可测性条件。

对可测集 $E$，称 $m(E) = m^*(E)$ 为 $E$ 的 Lebesgue 测度。Lebesgue 可测集全体构成 $\sigma$ 代数：包含 $\varnothing,\ \mathbb{R}^n$，对补集和可数并封闭。

若 $\{E_k\}$ 为两两不交的 Lebesgue 可测集，则 $m\!\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} m(E_k).$

若 $E_1 \subset E_2 \subset \cdots$ 为可测集，则 $m\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) = \lim_{n\to\infty} m(E_n).$ 若 $E_1 \supset E_2 \supset \cdots$ 且 $m(E_1) < \infty$，则 $m\!\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n\right) = \lim_{n\to\infty} m(E_n).$

若 $m^*(E) = 0$，称 $E$ 为零测集。零测集可测；零测集的任意子集可测且测度为零；可数个零测集的并仍为零测集。

$\mathbb{R}^n$ 中的开集、闭集均 Lebesgue 可测。由开集经可数并、可数交和补集运算生成的 Borel 集均 Lebesgue 可测。

若 $E$ 可测，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在开集 $G \supset E$ 使 $m(G - E) < \varepsilon$；若 $m(E) < \infty$，存在闭集 $F \subset E$ 使 $m(E - F) < \varepsilon$。

$E$ 可测，当且仅当存在 $G_\delta$ 集 $G$ 与零测集 $Z$，使 $E \subset G$ 且 $G - E \subset Z$；等价地，存在 $F_\sigma$ 集 $F \subset E$ 且 $E - F$ 为零测集。

可测集 $E$ 可在任意小测度误差意义下由开集从外逼近、由闭集从内逼近；也就是说，$E$ 与某个 Borel 集只差一个零测集。

在选择公理下，$\mathbb{R}$ 中存在不可测集。典型构造是在 $[0,1]$ 上按等价关系 $x \sim y \iff x - y \in \mathbb{Q}$ 选取每个等价类的一个代表，所得 Vitali 集不可 Lebesgue 可测。

集族 $\mathcal{A}$ 若对有限并、差、补封闭，称为代数；若还对可数并封闭，称为 $\sigma$ 代数。包含所有开集的最小 $\sigma$ 代数称为 Borel $\sigma$ 代数，其元素称 Borel 集。

$\mathbb{R}^n$ 中长方体、开集、闭集、Borel 集可测；可测集在平移、可数并、可数交、补、差运算下保持可测；测度满足平移不变性、可数可加性、单调性和连续性。

设 $E$ 可测，$f: E \to \mathbb{R}$。若对任意实数 $a$，集合 $\{x \in E : f(x) > a\}$ 可测，则称 $f$ 为 $E$ 上的可测函数。

对扩展实值函数 $f$，下列条件彼此等价：对任意 $a \in \mathbb{R}$，$\{f > a\}$ 可测；$\{f \ge a\}$ 可测；$\{f < a\}$ 可测；$\{f \le a\}$ 可测。若 $f$ 为有限实值函数，也等价于 $\{a < f < b\}$ 可测。

可测集的特征函数可测；有限个可测集特征函数线性组合构成的简单函数可测；连续函数在 Borel 集或可测集上限制后可测。

若 $f, g$ 可测且有限，则 $f \pm g,\ fg$ 可测；在 $g \neq 0$ 处 $f/g$ 可测。若 $\varphi$ 连续且 $f$ 可测，则 $\varphi \circ f$ 可测；更一般地，适当的 Borel 函数与可测函数复合仍可测。

若 $f_n$ 可测，则 $\sup_n f_n,\quad \inf_n f_n,\quad \varlimsup_{n\to\infty} f_n,\quad \varliminf_{n\to\infty} f_n$ 均可测。若 $f_n(x) \to f(x)$，则 $f$ 可测。

若 $f$ 为非负可测函数，则存在非负简单函数列 $\varphi_n$，使 $0 \le \varphi_n \le \varphi_{n+1}$ 且 $\varphi_n(x) \uparrow f(x)$。若 $f$ 为有限可测函数，则存在简单函数列 $\varphi_n$ 使 $\varphi_n(x) \to f(x)$。

对非负可测 $f$，可取 $\varphi_n(x) = \sum_{k=0}^{n 2^n - 1} \frac{k}{2^n} \chi_{\{k/2^n \le f < (k+1)/2^n\}} + n \chi_{\{f \ge n\}},$ 则 $\varphi_n$ 为非负简单函数且 $\varphi_n \uparrow f$。

若某性质除一个零测集外在 $E$ 上成立，则称该性质在 $E$ 上几乎处处成立，记 a.e.。若 $f = g$ a.e. 且 $f$ 可测，则 $g$ 也可测（在适当定义下）。

$f_n \to f$ 几乎处处，是指除零测集外每点收敛。$f_n$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f$，是指对任意 $\varepsilon > 0$， $m\{x \in E : |f_n(x) - f(x)| > \varepsilon\} \to 0.$

若 $m(E) < \infty$ 且 $f_n \to f$ a.e. 于 $E$，则 $f_n \to f$ 依测度于 $E$。

若 $f_n \to f$ 依测度于 $E$，则存在子列 $f_{n_k}$，使 $f_{n_k} \to f$ 几乎处处于 $E$。

若 $m(E) < \infty$ 且 $f_n \to f$ a.e. 于 $E$，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在可测集 $F \subset E$，使 $m(E - F) < \varepsilon$，并且 $f_n \to f$ 在 $F$ 上一致收敛。

若 $f$ 在有限测度可测集 $E$ 上可测且有限，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在闭集 $F \subset E$，使 $m(E - F) < \varepsilon$，且 $f$ 在 $F$ 上连续（相对于 $F$）。

若 $\varphi = \sum_{k=1}^m a_k \chi_{E_k}$，其中 $a_k \ge 0$，$E_k$ 两两不交且可测，则 $\int_E \varphi \, dm = \sum_{k=1}^m a_k\, m(E_k).$ 该定义与简单函数表示无关。

若 $f \ge 0$ 可测，则 $\int_E f \, dm = \sup\left\{ \int_E \varphi \, dm : 0 \le \varphi \le f,\ \varphi \text{ 为简单函数} \right\}.$

对可测 $f$，令 $f^+ = \max(f, 0)$，$f^- = \max(-f, 0)$。若 $\int_E f^+ \, dm < \infty,\quad \int_E f^- \, dm < \infty,$ 则称 $f$ 可积，并定义 $\int_E f \, dm = \int_E f^+ \, dm - \int_E f^- \, dm.$ 等价地，$f$ 可积当且仅当 $\int_E |f| \, dm < \infty$。

若 $f, g$ 可积，$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$，则 $\alpha f + \beta g$ 可积且积分线性。若 $f \le g$ a.e.，则 $\int f \le \int g$。若 $E = A \cup B$ 且 $A, B$ 不交可测，则 $\int_E f = \int_A f + \int_B f$。

若 $f \ge 0$ 可测，则 $\int_E f \, dm = 0$ 当且仅当 $f = 0$ a.e. 于 $E$。

若 $0 \le f_n \uparrow f$ a.e.，且 $f_n$ 可测，则 $\int_E f \, dm = \lim_{n\to\infty} \int_E f_n \, dm.$

若 $f_n \ge 0$ 可测，则 $\int_E \varliminf_{n\to\infty} f_n \, dm \le \varliminf_{n\to\infty} \int_E f_n \, dm.$

若 $f_n \to f$ a.e.，且存在可积函数 $g$ 使 $|f_n| \le g$ a.e.，则 $f$ 可积，且 $\lim_{n\to\infty} \int_E f_n \, dm = \int_E f \, dm, \qquad \int_E |f_n - f| \, dm \to 0.$

若 $f$ 可积，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得可测集 $A \subset E$ 且 $m(A) < \delta$ 时， $\int_A |f| \, dm < \varepsilon.$

若 $f$ 可积，则 $f \chi_{\{|f| \le n\}} \to f$ 于 $L^1$，即 $\int_E |f - f \chi_{\{|f| \le n\}}| \, dm \to 0.$

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，则 $f$ Lebesgue 可积且两种积分值相等。有限有界函数在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，当且仅当其不连续点集测度为零。

若 $f$ 在 $E \times F$ 上可积，则对几乎所有 $x$，$f(x, \cdot)$ 在 $F$ 上可积；对几乎所有 $y$，$f(\cdot, y)$ 在 $E$ 上可积，且 $\int_{E \times F} f(x,y) \, d(x,y) = \int_E \left( \int_F f(x,y) \, dy \right) dx = \int_F \left( \int_E f(x,y) \, dx \right) dy.$

若 $f \ge 0$ 在 $E \times F$ 上可测，则两种累次积分与重积分相等，值允许为 $+\infty$。

区间上的单调函数只有第一类间断点，且间断点集至多可数。

区间上的单调函数几乎处处存在有限导数。

函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的全变差为 $V_a^b(f) = \sup_{\mathcal{P}} \sum_{k=1}^{n} |f(x_k) - f(x_{k-1})|,$ 其中 $\mathcal{P}: a = x_0 < \cdots < x_n = b$。若 $V_a^b(f) < \infty$，称 $f$ 为有界变差函数。

$f$ 在 $[a,b]$ 上有界变差，当且仅当 $f$ 可表示为两个单调递增函数之差。

有界变差函数几乎处处可导，且导数可积性满足相应变差控制。

函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上绝对连续，若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使任意有限个互不相交区间 $(a_k, b_k)$ 满足 $\sum_k (b_k - a_k) < \delta$ 时，有 $\sum_k |f(b_k) - f(a_k)| < \varepsilon.$

绝对连续函数必一致连续且有界变差；反之，有界变差或一致连续一般不能推出绝对连续。

$f$ 在 $[a,b]$ 上绝对连续，当且仅当 $f'$ 几乎处处存在且可积，并且对任意 $x \in [a,b]$， $f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) \, dt.$

若 $g \in L^1([a,b])$，定义 $F(x) = \int_a^x g(t) \, dt,$ 则 $F$ 绝对连续，且 $F'(x) = g(x)$ 几乎处处。

若 $\varphi$ 为适当的一一绝对连续变换且满足相应 Jacobian 条件，则 $\int_{\varphi(A)} f(y) \, dy = \int_A f(\varphi(x)) |J_\varphi(x)| \, dx.$ 一维情形中，若 $\varphi$ 绝对连续、单调，则 $\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(y) \, dy = \int_a^b f(\varphi(x)) \varphi'(x) \, dx$ 在符号方向合适时成立。

若 $E \subset \mathbb{R}^n$ 可测，则几乎每个 $x \in E$ 都是 $E$ 的密度点，即 $\lim_{r \downarrow 0} \frac{m(E \cap B(x,r))}{m(B(x,r))} = 1.$ 更一般地，若 $f \in L^1_{\text{loc}}$，则 $\lim_{r \downarrow 0} \frac{1}{m(B(x,r))} \int_{B(x,r)} f(y) \, dy = f(x)$ 对几乎所有 $x$ 成立。

若 $f$ 在 $x$ 处除去一个相对密度为零的集合后连续，则称 $f$ 在 $x$ 处近似连续。可测函数几乎处处近似连续。

对 $1 \le p < \infty$， $L^p(E) = \left\{ f \text{ 可测} : \int_E |f|^p \, dm < \infty \right\} \big/ \sim,$ 其中 $f \sim g$ 表示 $f = g$ a.e.，范数为 $\|f\|_p = \left( \int_E |f|^p \, dm \right)^{1/p}.$

$L^\infty(E)$ 由本性有界可测函数的等价类组成，范数为 $\|f\|_\infty = \operatorname{ess\,sup}_{x \in E} |f(x)|.$

若 $1 < p < \infty$，$1/p + 1/q = 1$，则 $\int_E |fg| \, dm \le \|f\|_p \|g\|_q.$ 端点情形 $p = 1,\ q = \infty$ 也成立。

对 $1 \le p \le \infty$，若 $f, g \in L^p(E)$，则 $\|f + g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p.$ 因此 $\|\cdot\|_p$ 为范数。

若 $\|f_n - f\|_p \to 0$ 且 $1 \le p < \infty$，则 $f_n \to f$ 依测度（在有限测度集上或局部意义下可相应表述）。因此存在子列几乎处处收敛于 $f$。

对 $1 \le p \le \infty$，$L^p(E)$ 在范数 $\|\cdot\|_p$ 下是 Banach 空间，即每个 Cauchy 列都收敛到 $L^p(E)$ 中的某个元素。

当 $1 \le p < \infty$ 时，$L^p(E)$ 通常可由简单函数、阶梯函数或有理系数特征函数的线性组合稠密逼近；在 $E$ 为 Lebesgue 可测集的常见情形下，$L^p(E)$ 可分。$L^\infty$ 一般不可分。

$L^2(E)$ 中定义 $\langle f, g \rangle = \int_E fg \, dm, \qquad \|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f \rangle}.$ Cauchy–Schwarz 不等式为 $|\langle f, g \rangle| \le \|f\|_2 \|g\|_2.$

若 $\langle f, g \rangle = 0$，称 $f$ 与 $g$ 正交。若函数族中任意两个不同元素正交，称为正交系；若还满足每个元素范数为 $1$，称为规范正交系。

若 $\{e_k\}$ 为规范正交系，则 $\sum_{k=1}^{\infty} |\langle f, e_k \rangle|^2 \le \|f\|_2^2.$ 若 $\{e_k\}$ 为完备规范正交系，则 $\|f\|_2^2 = \sum_{k=1}^{\infty} |\langle f, e_k \rangle|^2.$

$L^2(E)$ 中若有限线性组合 $\sum_{k=1}^n c_k f_k = 0$ 只在 $c_1 = \cdots = c_n = 0$ 时成立，则 $\{f_k\}$ 线性无关。对线性无关组可用 Gram–Schmidt 方法构造规范正交组：逐步减去在已构造方向上的投影并归一化。